Traité du triangle arithmétique

4 parties en 1 volume in-4 de (2) ff., 12 pp., 8 pp., 16 pp., 48 pp. ; 1 grand diagramme dépliant, complet.

Veau vert olive, double filet doré encadrant les plats, fleuron aux angles, dos à nerfs orné, tranches marbrées. Reliure anglaise vers 1830.

221 x 163 mm.

Pascal, Blaise. Traité du triangle arithmétique avec quelques autres petits traitez sur la mesme matière.

Paris, Guillaume Desprez, 1665 (en fait, 1654).

« Edition originale très rare, illustrée d’une planche dépliante » (D. Courvoisier).

Publiée après la mort de l’auteur, l’ouvrage a ouvert la voie aux recherches sur le calcul des probabilités.

Elle contient onze parties dont le Traité des ordres numérique et deux traités en latin.

« The principle of the arithmetical triangle was current in Pascal’s lifetime, but it was he who used it fully and derived the greatest number of applications. The text is in both French and Latin and is divided into eleven inter-related sections, numbers I-IV in French, and the rest in Latin ».

« Between July and October 1654, Pascal corresponded with Fermat about two problems in gaming : one about the probability of a player getting a certain face of a dice in a given number of throws, and the other about the proportion of the stakes to be returned to the several players in an interrupted game. Fermat solved these problems by combinatorial analysis. Pascal however used reasoning by recursion ».

Le Traité du triangle arithmétique a un rapport très étroit avec les recherches de Pascal sur la « règle des partis » et la probabilité. Ce triangle est constitué par une série de nombres entiers disposés en colonnes selon la forme d’un triangle indéfini, et dans lequel chaque nombre s’obtient en faisant la somme des nombres qui le surmontent. Ce n’était pas chose absolument nouvelle que cette figure mais Pascal lui découvre des applications innombrables. Il devait les développer dans une série de courts traités. A ce même ordre de recherches se rattachent également le Traité des ordres numériques ainsi que deux traités en Latin, l’un sur le Caractère de divisibilité des nombres et l’autre sur la Sommation des puissances numériques. Pascal déterminait une des bases essentielles du calcul intégral. On peut mettre en rapport ces considérations mathématiques avec les développements métaphysiques des Pensées sur les « trois ordres ».

« Le traité du triangle arithmétique, parut avec la date de 1665, trois ans après la mort de l’auteur, par les soins de sa famille, sous forme d’un mince volume in-4. Mais il suffit d’examiner les exemplaires subsistants pour constater que seuls quelques feuillets initiaux ont été imprimés alors, dont la page de titre et la figure du triangle. Le corps de l’ouvrage avait été mis sous presse du vivant de Pascal, et tous les exemplaires étaient disponibles dès l’été 1654, époque à laquelle Fermat en reçut un. Ce dernier fut certainement le seul informé. Pourquoi le silence qui suivit ? Sans doute à cause de la grande conversion que connut Pascal au temps du Mémorial (23 novembre 1654). Le volume imprimé en 1654 présente de curieuses disparates. Non seulement le Traité du Triangle arithmétique, accompagné de quelques applications, n’en constitue qu’une première partie, une seconde étant formée par plusieurs autres petits traités mathématiques, mais, tandis que la première partie et le début de la seconde sont rédigés en français, c’est en latin que se présente la suite. Or parmi les livres que recueillirent les héritiers de Pascal se découvre une autre version imprimée de l’ouvrage, toute en latin, et commençant par un « Triangulus arithmeticus » (sans les applications). Il y a donc eu deux rédactions et deux impressions successives de l’ouvrage, dont on peut assurer qu’elles se sont fait suite à quelques semaines de distance » Jean Mesnard, membre de l’Institut, professeur émérite à l’université de Paris IV – Sorbonne.

Parmi les 4 exemplaires répertoriés sur le marché international depuis plus de 40 ans, l’exemplaire Phillips avait les gardes renouvelées (Sotheby’s, 29 novembre 1976) : l’exemplaire Norman était lavé et en vélin postérieur (Christie’s New York, vendu en cet état 36 000 € il y a 22 ans, le 16 juin 1998) ; l’exemplaire de la bibliothèque de Shirburn Castle vendu 85 000 € le 5 mai 2006 était relié en veau du XVIIè siècle et l’exemplaire réemboîté en maroquin du XVIIIè siècle était vendu 59 000 € il y a 11 ans.

La théorie du triangle arithmétique est en rapport étroit avec les recherches de Pascal sur la règle des partis et les probabilités. Le triangle permet de déterminer les ordres numériques, il sert au calcul des combinaisons, à trouver les sommes successives des puissances semblables, à calculer les puissances des binômes ; il a également son application à la théorie des probabilités et à la règle des partis. Enfin cette découverte contient tous les principes de la science des statistiques (Philippe Zoummeroff, En Français dans le texte, n°101).

Parmi les petits traités annexés à celui du Triangle arithmétique, figurent le De numeris multiplicibus, qui traite des caractères de divisibilité des nombres, et le Potestatum numericarum summa, où Pascal enseigne à calculer la somme des puissances semblables des termes d’une progression arithmétique.

Célèbre exemplaire provenant de ma bibliothèque Robert Honeyman, le seul sans défaut avec l’exemplaire Shiburn Castle.